此条目的主题是数学名词。关于同名节目名称，请见“黄金比例 (游戏节目)”。
黄金比黄金比
数表—无理数
2
{\displaystyle \color {blue}{\sqrt {2}}}
-
φ
{\displaystyle \color {blue}\varphi }
-
3
{\displaystyle \color {blue}{\sqrt {3}}}
-
5
{\displaystyle \color {blue}{\sqrt {5}}}
-
δ
S
{\displaystyle \color {blue}\delta _{S}}
-
e
{\displaystyle \color {blue}e}
-
π
{\displaystyle \color {blue}\pi }
黄金比例的线段命名名称黄金比例黄金分割比黄金分割率识别种类无理数符号
φ
{\displaystyle \varphi }
位数数列编号 A001622性质连分数
1
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
⋱
{\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}
以此为根的多项式或函数
x
2
−
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{2}-x-1=0}
表示方式值
φ
=
{\displaystyle \varphi =}
1.61803...代数形式
1
+
5
2
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
二进制1.100111100011011101111001…十进制1.618033988749894848204586…十六进制1.9E3779B97F4A7C15F39CC060…
黄金比例（英语：golden ratio），又称黄金比、黄金分割比[1]、黄金分割率，是数学常数，一般以希腊字母
φ
{\displaystyle \varphi }
（phi）表示[2][3][4]。可以以下代数式定义：
a
+
b
a
=
a
b
=
def
φ
(
a
>
b
>
0
)
{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\varphi \quad (a>b>0)}
这也是黄金比一名的由来。黄金比是无理数，准确值为
1
+
5
2
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
，约值（小数点后20位， A001622）：
φ
{\displaystyle \varphi }
＝1.61803398874989484820…
应用时一般取1.618，就像圆周率在应用时取3.14159一样。
黄金比有严格的艺术感、和谐感，蕴藏丰富的美学价值，而且呈现于不少动物和植物的外观。现今普遍很多工业产品、电子产品、建筑物或艺术品均应用了黄金比，使其更美观。
历史[编辑]
黄金比例是属于数学领域的专有名词，但最后涵盖的内容不只是有关数学领域的研究，根据目前的文献探讨，我们可以说，黄金比的发现和如何演进至今仍是个谜。但有研究指出公元前六世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金比的一些规则，也发现无理数，但由于其数字崇拜的宗教信仰拒绝承认其存在。它侧重于从数学关系去探讨美的规律，并认为美就是和谐与比例，按照这种比例关系就可以组成美的图案，这其实是一个数字的比例关系，即将一条线分成两部份，长段与短段之比等于全长与长段之比，它们的比例大约是1.618比1，知名的费氏数列也体现了这数学原则，按此种比例关系组成的任何事物都表现出其内部关系的和谐与均衡。
公元前四世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金比，成为最早的有关黄金比的论著（即中末比）[5]。
中世纪后，黄金比被披上神秘的外衣，义大利数学家卢卡·帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家约翰内斯·开普勒称神圣比例为黄金比。到19世纪黄金比一名才逐渐通行，而证据在于德国数学家马丁·欧姆（英语：Martin Ohm）所写的《基本纯数学》第2版注释中有关黄金比的解释：“人们习惯把按此方式将任一直线分割成两部份的方法，称为黄金比”。而在1875年出版的《大英百科全书》第9版中，苏利有提到：“由费区那……提出的有趣、实验性浓厚的想法宣称，‘黄金比’在视觉比例上有所谓的优越性。”可见黄金比在当时已甚为流行。20世纪时美国数学家马克·巴尔（英语：Mark Barr）给它个名叫phi。黄金比有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛，造就了它今天的名气。最著名的例子是优选学的黄金比法或0.618法，是由美国数学家杰克·基弗（英语：Jack Kiefer (statistician)）于1953年首先提出，70年代在中国推广。
基本计算[编辑]
黄金分割是根据黄金比例，将一条线分割成两段。总长度a+b与长度较长的a之比等于a与长度较短的b之比
两个数值
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
构成黄金比例
φ
{\displaystyle \varphi }
，如果：
a
+
b
a
=
a
b
=
φ
{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi }
一个得出
φ
{\displaystyle \varphi }
数值的方法是从左边的分数式入手。经过简化和代入，
a
+
b
a
=
a
a
+
b
a
=
1
+
b
a
=
1
+
1
φ
{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{a}}+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }}}
于是：
1
+
1
φ
=
φ
{\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi }
两边乘以
φ
{\displaystyle \varphi }
就得到：
φ
+
1
=
φ
2
{\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}
即是
φ
2
−
φ
−
1
=
0
{\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0}
找出该方程的正解，
φ
=
1
+
5
2
=
1.6180339887
…
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887\ldots }
黄金比奇妙之处在于其倒数为自身减1，即0.618…＝1.618…－1，并时常称为“黄金比例共轭”[6]。
从上面的
1
+
1
φ
=
φ
{\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi }
得到：
1
φ
=
φ
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1}
0.618…的数值常用希腊字母
Φ
{\displaystyle \Phi }
表示，即：
Φ
=
1
φ
=
1
1.6180339887
…
{\displaystyle \Phi ={1 \over \varphi }={1 \over 1.6180339887\ldots }}
＝0.6180339887…，亦可表达为：
Φ
{\displaystyle \Phi }
＝
φ
{\displaystyle \varphi }
－1＝1.6180339887…－1＝0.6180339887…
替代或其他形式[编辑]
借由有限连分数或者斐波纳契数列的比例中看出近似于黄金比例的倒数。
公式
φ
=
1
+
1
φ
{\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}
可以递归扩展来获得黄金比的连分数[7]：
φ
=
[
1
;
1
,
1
,
1
,
…
]
=
1
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
⋱
{\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}
而它的倒数是：
φ
−
1
=
[
0
;
1
,
1
,
1
,
…
]
=
0
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
⋱
{\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\dots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}
平方根表示：
φ
=
1
+
1
+
1
+
1
+
.
.
.
{\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+...}}}}}}}}}
以三角函数的特殊值表示[8]：
φ
=
13
8
+
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
!
(
n
+
2
)
!
n
!
4
(
2
n
+
3
)
.
{\displaystyle \varphi ={\frac {13}{8}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}}.}
即是：
φ
=
1
+
2
sin
(
π
10
)
=
1
+
2
sin
18
∘
{\displaystyle \varphi =1+2\sin({\frac {\pi }{10}})=1+2\sin 18^{\circ }}
φ
=
1
2
csc
(
π
10
)
=
1
2
csc
18
∘
{\displaystyle \varphi ={1 \over 2}\csc({\frac {\pi }{10}})={1 \over 2}\csc 18^{\circ }}
φ
=
2
cos
(
π
5
)
=
2
cos
36
∘
{\displaystyle \varphi =2\cos({\frac {\pi }{5}})=2\cos 36^{\circ }}
φ
=
2
sin
(
3
π
10
)
=
2
sin
54
∘
.
{\displaystyle \varphi =2\sin({\frac {3\pi }{10}})=2\sin 54^{\circ }.}
与其他数学事项的关系[编辑]
黄金比的乘幂与费氏数列的关系
φ
n
=
F
n
−
1
+
φ
F
n
{\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n-1}+\varphi F_{n}}
且
(
1
−
φ
)
n
=
F
n
+
1
−
φ
F
n
{\displaystyle (1-\varphi )^{n}=F_{n+1}-\varphi F_{n}}
，其中n为任何整数，
F
n
{\displaystyle F_{n}}
是费氏数列的第n项[注 1]
与正切函数的关系
tan
2
x
=
−
2
{\displaystyle \tan 2x=-2}
，若且唯若
tan
x
=
φ
{\displaystyle \tan x=\varphi }
或
−
1
φ
{\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}}
。
黄金比数高精度计算程式码[编辑]
C++[编辑]
#include
#include
using namespace std;
int main() {
long b, c, d = 0, e = 0, f = 100, i = 0, j, N;
cout << "請輸入黃金分割數位數\n";
cin >> N;
N = N * 3 / 2 + 6;
long* a = new long[N + 1];
while (i <= N) a[i++] = 1;
for (; --i > 0;
i == N - 6 ? printf("\r0.61") : printf("%02ld", e += (d += b / f) / f),
e = d % f, d = b % f, i -= 2)
for (j = i, b = 0; j; b = b / c * (j-- * 2 - 1))
a[j] = (b += a[j] * f) % (c = j * 10);
delete[] a;
cin.ignore();
cin.ignore();
return 0;
}
[9]
例子[编辑]
黄金分割点
黄金矩形
鹦鹉螺的内部结构
帕特农神庙
最后的晚餐
联合国总部大楼
向日葵
蝴蝶花纹
贵金属分割[编辑]
主条目：贵金属分割
贵金属分割即
n
+
n
2
+
4
2
{\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}
，其中
n
{\displaystyle n}
为正整数。
n
=
1
{\displaystyle n=1}
时为黄金比（
1
+
5
2
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
），
n
=
2
{\displaystyle n=2}
时为白银比（
1
+
2
{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}
），
n
=
3
{\displaystyle n=3}
时为青铜比（
3
+
13
2
{\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}
）。用连分数可表示为
n
+
1
n
+
1
n
+
1
n
+
1
⋱
=
[
n
;
n
,
n
,
n
,
n
,
…
]
{\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]}
参考文献[编辑]
引用[编辑]
^ Summerson John, Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture (New York: W.W. Norton, 1963) p. 37. "And the same applies in architecture, to the rectangles representing these and other ratios (e.g. the 'golden cut'). The sole value of these ratios is that they are intellectually fruitful and suggest the rhythms of modular design."
^ Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. 2002 [2016-07-12]. ISBN 0-7679-0815-5. （原始内容存档于2016-07-07）.
^ Piotr Sadowski. The knight on his quest: symbolic patterns of transition in Sir Gawain and the Green Knight. University of Delaware Press. 1996: 124 [2016-07-12]. ISBN 978-0-87413-580-0. （原始内容存档于2016-07-07）.
^ Richard A Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World Scientific Publishing, 1997
^ Strogatz, Steven. Me, Myself, and Math: Proportion Control. New York Times. 2012-09-24 [2016-07-12]. （原始内容存档于2016-02-12）.
^ Weisstein, Eric W. (编). Golden Ratio Conjugate. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ Max. Hailperin; Barbara K. Kaiser; Karl W. Knight. Concrete Abstractions: An Introduction to Computer Science Using Scheme. Brooks/Cole Pub. Co. 1998. ISBN 0-534-95211-9.
^ Brian Roselle, "Golden Mean Series" （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ "黄金分割数高精度计算.pdf"[永久失效链接]
来源[编辑]
《黄金比例》;远流出版公司;2004年;ISBN 957-32-5270-8.
注释[编辑]
^ 这可以透过
φ
2
=
1
+
φ
{\displaystyle \varphi ^{2}=1+\varphi }
与
1
φ
=
φ
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1}
与
1
1
−
φ
=
−
φ
{\displaystyle {\frac {1}{1-\varphi }}=-\varphi }
此三个等式，以及费氏数列的递归定义，以数学归纳法证明。
延伸读物[编辑]
Doczi, György. The Power of Limits: Proportional Harmonies in Nature, Art, and Architecture. Boston: Shambhala Publications. 2005 [1981]. ISBN 1-59030-259-1.
Huntley, H. E. The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty. New York: Dover Publications. 1970. ISBN 0-486-22254-3.
Joseph, George G. The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics New. Princeton, NJ: Princeton University Press. 2000 [1991]. ISBN 0-691-00659-8.
Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number Hardback. NYC: Broadway (Random House). 2002 [2002]. ISBN 0-7679-0815-5.
Sahlqvist, Leif. Cardinal Alignments and the Golden Section: Principles of Ancient Cosmography and Design 3rd Rev. Charleston, SC: BookSurge. 2008. ISBN 1-4196-2157-2.
Schneider, Michael S. A Beginner's Guide to Constructing the Universe: The Mathematical Archetypes of Nature, Art, and Science. New York: HarperCollins. 1994. ISBN 0-06-016939-7.
Scimone, Aldo. La Sezione Aurea. Storia culturale di un leitmotiv della Matematica. Palermo: Sigma Edizioni. 1997. ISBN 978-88-7231-025-0.
Stakhov, A. P. The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. Singapore: World Scientific Publishing. 2009. ISBN 978-981-277-582-5.
Walser, Hans. The Golden Section. Peter Hilton trans. Washington, DC: The Mathematical Association of America. 2001 [Der Goldene Schnitt 1993]. ISBN 0-88385-534-8.
外部链接[编辑]
维基共享资源上的相关多媒体资源：黄金分割率
查论编几何学术语点
顶点
交点
中点
角
同界角
极值点
最值点
临界点
驻点
鞍点
直线和曲线
线段
射线
直线
切线
（主）法线
副法线
曲线
圆锥曲线
双曲线
抛物线
正弦曲线
蚌线
蜗线
螺线（阿基米德螺线、等角螺线……）
摆线（最速降线问题）
悬链线
曳物线
渐开线
渐屈线
渐近线
测地线
边
周界
弦
弧
矢
垂直平分线
代数曲线
椭圆曲线
超椭圆
星形线
三尖瓣线
方圆形
勒洛三角形
平面图形
圆（广义圆）
椭圆
扇形
弓形
环形
多边形
三角形
四边形
五边形
六边形
多边形
正多边形
梯形
平行四边形
菱形
矩形
正方形
鹞形
卵形线
梭形
星形
五角星
六角星
立体图形
多面体
正多面体
四面体
长方体
立方体
平行六面体
棱柱
反棱柱
棱锥
棱台
圆柱体
圆锥
圆台
椭球（长球体、扁球体）
球体
球缺
球冠
球台
准线
母线
曲面
二次曲面
旋转曲面
抛物面
双曲面
马鞍面
球面
椭球面
类球面
环面
莫比乌斯带
流形
黎曼曲面
高维空间
超平面
超面
超曲面
胞
多胞形
超球体
超方形
超立方体
克莱因瓶
四维柱体柱
图形关系
相似
全等
对称
平行
垂直
相交
相切
镜像
旋转
反演
截面
缩放
三角形关系
相似三角形
全等三角形
量
距离
长度
周长
弧长
高度
面积
表面积
体积
容积
角度
曲率
挠率
离心率
凹凸性
有向曲面
可展曲面
直纹曲面
作图
尺
直尺
三角尺
圆规
尺规作图
二刻尺作图
分支
平面几何
立体几何
三角学
解析几何
微分几何
拓扑学
图论
折纸数学
欧几里得几何
非欧几里得几何（双曲几何、球面几何……）
分形
理论
定理
公理
定义
数学证明
分类
主题
共享资源
专题
查论编贵金属比例
皮索数
黄金比例
角
进制
矩形
菱形
螺线（英语：Golden spiral）
三角形
黄金分割搜索
斐波那契数
开普勒三角
白银比例
佩尔数
青铜比例
查论编分数 & 比率除法＆比例
被除数 : 除数 = 商数
分数
分子/分母=商数
代数
长宽比
连分数
十进制
二进分数
古埃及分数
黄金分割率
白银比例
整数
最简分数
精简
最小公分母
音程
百分比
单位分数
查论编无理数
柴廷常数 (Ω)
刘维尔数
质常数（英语：Prime constant） (ρ)
欧米加常数
卡汉常数
2的自然对数
高斯常数 (G)
2的12次方根
阿培里常数 (ζ(3))
塑胶数 (ρ)
2的算术平方根
超黄金比例 (ψ)
埃尔德什-波温常数 (E)
黄金分割率 (φ)
3的算术平方根
5的算术平方根
白银比例 (δS)
6的算术平方根（英语：Square root of 6）
7的算术平方根（英语：Square root of 7）
自然常数/尤拉数 (e)
圆周率 (π)
青铜比例
分裂数（英语：Schizophrenic number）
超越数
三角函数数
查论编代数数
代数整数
切比雪夫节点（英语：Chebyshev nodes）
规矩数
康威常数
分圆域
艾森斯坦整数
高斯整数
黄金比例（φ）
佩龙数（英语：Perron number）
皮索数
二次无理数
有理数
单位根
塞勒姆数（英语：Salem number）
白银比例（δS）
2的算术平方根
3的算术平方根
5的算术平方根
6的算术平方根（英语：Square root of 6）
7的算术平方根（英语：Square root of 7）
倍立方
2的12次方根
数学主题
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